급격히 줄어드는 화장지 속 수학

2018-12-05 09:09:48

우리는 수학을 배울 때 반경 r에 관한 식 2πr를 쓰지만 실제 측정에서는 직경을 더 잘 쓴다. 속이 빈 쇠막대기 같은 데서 원의 중심을 찾아 반경을 재기가 어렵기 때문이다. 오늘은 두루마리 휴지에 숨어있는 수학을 살펴보자.

두루마리 화장지를 쓸 때 처음 어느 정도까지는 쓰고 또 써도 별로 줄어드는 것 같지 않다. 그러나 대략 반을 넘어 사용한 다음부터는 마치 누가 쫓아오기라도 하는 듯이 순식간에 가늘어지는 기묘한 성질을 가지고 있다.

이런 현상은 수학을 통해 쉽게 알 수 있다. 원기둥의 부피는 밑면인 원의 넓이에 몸통의 길이를 곱한 것이다. 그런데 두루마리 화장지를 돌돌 풀어가며 사용하면 당연히 원기둥의 길이 쪽은 변하지 않으면서 원의 넓이만 점점 줄어들며 가늘어진다. 즉 화장지의 남은 량인 원기둥의 부피는 원의 넓이와 직접적으로 관련이 있다. 이들은 정비례한다.

그러나 우리는 눈대중으로 원의 반경에 따라 화장지의 남은 량을 짐작하는 경향이 있다. 반경이 절반이 되면 화장지도 반이 남아 있다고 생각하는 것이다.

그런데 반경이 r인 원의 면적은 πr2이므로 가령 r=4cm에서 2cm로 가늘어졌다면 원의 면적은 16πcm2에서 1/4인 4πcm2가 된다. 따라서 아직 절반은 남아있을 것으로 생각되던 화장지라도 실은 1/4만 남은 셈이다. 반경이 절반인 2cm가 될 때까지 3일 정도 걸렸다면 3/4(또는 75%)의 량으로 3일을 쓴 것이므로 남아있는 1/4(또는 25%)인 2cm로는 불과 하루밖에 버티지 못하게 된다.

수학을 생활에 응용할 때는 적절한 가정과 계산이 따라야 옳은 답에 이른다.

화장지가 감겨있는 총길이가 60m라고 해보자. 반경이 1/10정도 남은 것을 보고서 “아직 6m는 되니까.” 하며 안심하고 화장실에 들어가면 곤난하다. 실은 60메터의 1/100인 0.6메터(60센치메터)밖에 남아있지 않은 탓에 진짜로 난감한 사태가 생길 수 있다. 많은 가정과 공중 화장실에는 화장지를 두개 나란히 비치해놓아서 이 문제를 해결한다.

화장지 두개가 동시에 떨어질 확률은 확실히 줄어들지만 그래도 아직 위험이 완전히 사라진 것은 아니다. 분명히 충분히 남아있다고 생각했는데 모자라게 되였다면 화장지의 량은 평방으로 줄어든다는 수학의 원리를 무시한 대가를 톡톡히 치르는 것이다. 종합

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