벌집 왜 륙각형일가? 자연 속에 숨은 기하학

2019-05-22 08:58:09

1700년 전 이집트에서 활동한 그리스의 수학자 파포스는 다음과 같이 말했다.

"꿀벌은 귀중한 꿀을 담기에 알맞은 그릇을 만들었다. 이 그릇은 불순물이 끼지 못하도록 서로 빈틈없이 맞물린 모양이여야 한다. 그런데 어떤 점을 둘러싼 공간을 빈틈없이 채울 수 있는 도형은 정삼각형, 정사각형 그리고 정륙각형 세가지 뿐이다. 꿀벌들은 본능적으로 꼭지점이 최대의 각인 정륙각형을 택했다. 이 모양에는 다른 두 모양보다 훨씬 많은 꿀이 들어간다."

벌집은 왜 륙각형일가. 파포스가 말한 대로 련속적으로 평면에 빈틈없이 그릴 수 있는 도형은 정삼각형, 정사각형, 정륙각형 뿐이다.

정다각형은 각이 많아질수록 하나의 변은 짧아지고 좀 더 원에 가까워지면서 넓이는 넓어진다. 그리고 직사각형과 정사각형을 비교해보면 둘레는 똑같이 12cm라도 길쭉한 직사각형보다는 정사각형에 가까워지는 쪽이 넓이가 넓다. 즉 다각형중에서도 정다각형이 가장 넓다.

한정된 재료를 가지고 최대한의 꿀을 담을 수 있는 도형을 그려야 하는 꿀벌에게는 원이 가장 적합해보인다.

그런데 원은 여러개를 이어붙이면 틈새가 생기기 때문에 공간의 랑비가 생기게 된다. 그 틈 사이로 바람이 지나가 온도가 떨어질 수도 있고 물이나 먼지 등이 차거나 적들이 파고들 수도 있다. 따라서 최소의 재료로 가장 튼튼한 최대의 공간을 만들기 위해서는 정륙각형이 가장 알맞다. 만일 벌이 한마리씩 단독 생활을 하는 곤충이라면 벌집은 원(실은 원기둥)이 되였을 것이다. 물론 극도로 능률적인 집을 짓는 꿀벌의 본능은 수학이 아니라 오래된 '자연선택'의 결과이지만.

평면과 공간에서 점, 선, 각, 면, 립체 등의 수학적 성질을 연구하는 분야가 기하학이다. 자연에서는 기하학 구조가 수없이 많이 발견된다. 이를테면 동물이 어떤 지점에서 다른 지점으로 이동할 때 되도록 직선으로 가려고 한다. 최단 경로인 직선일 때 최소의 에너지가 들기 때문이다.

앞에서 설명했듯 벌집의 륙각기둥 구조는 최소의 밀랍을 써서 최대 용량의 꿀을 담을 수 있게 한다. 만일 우리가 병에 꿀을 담듯이 벌집도 웃쪽이 열린 입구라면 용량이 커지기 위해서는 륙각기둥이 깊어져야 한다. 그러면 아래쪽의 오래된 꿀은 방치되고 입구의 꿀만을 사용하게 된다. 그렇다고 기둥을 짧게 하면 많이 담을 수 없어서 공간의 랑비가 심하다.

이 문제를 벌들은 짧은 륙각기둥을 가로로 눕혀서 해결했다. 누운 륙각기둥에는 마개에 해당하는 두개의 세로 면이 있다. 하나는 벌이 드나드는 열려있는 입구, 반대쪽은 세개의 마름모가 각뿔 모양으로 막고 있는 벽이다.

그리고 반대편에도 륙각기둥을 하나 더 마주 대고 입구를 내면, 륙각기둥의 막힌 벽이 등을 대고 붙어서 입구가 서로 반대로 난 두 겹 구조를 이룬다. 이러면 량쪽에서 드나들게 되므로 공간을 두배로 활용할 수 있다.

그런데 륙각기둥이 가로로 놓이면 액체인 꿀을 어떻게 담을가? 놀랍게도 열린 입구는 9°~14°로 살짝 들려있어서 점도 높은 꿀이 쏟아지지 않게 되여있다.

한편 왜 하필 막힌 면이 마름모로 되여있을가? 그냥 정륙각형으로 막으면 간단할 텐데. 사람들이 마름모의 각도를 측정해서 실제로 구한 각도는 70°32', 아마도 이 각도일 때 재료인 밀랍이 최소한으로 들 것이라고 추측되였다. 그러나 륙각기둥의 한쪽은 열려있고 다른 쪽은 3개의 마름모로 막힌 복잡한 구조라 계산이 어려워 여전히 추측에만 머물러있었다.

확인은 미분이 만들어진 다음에야 비로소 가능해졌다. 수학자들이 미분을 리용하여 계산한 결과, 과연 최적의 계산치와 불과 6'밖에 차이가 나지 않아 벌집의 우수성에 다시 한번 놀랐다.

그런데 진짜 놀라운 일은 몇년 뒤에 일어났다. 1730년, 이전에 수학자들이 계산한 것이 오차가 있다는 사실이 밝혀졌다. 수학자들의 계산보다도 벌의 본능이 더 정확했던 것이다.

벌집은 이처럼 기하학적으로 매우 효과적인 구조를 가지고 있다. 물론 이것이 인간처럼 의식을 통한 고도의 계산에 의한 것은 아니지만, 수없이 많은 도전과 경험이 바로 지금과 같은 결과를 만들었을 것이다.

대부분 생물은 자신의 생명 유지와 번식에 유리한 방향으로 진화를 거듭해왔다. 그래서 자연을 자세히 살펴보면 벌집과 같은 기하학적 구조가 심심찮게 발견된다. 수천만년 동안 진화를 거듭해온 자연의 기하학은 이미 검증이 끝나 극도의 능률성을 가지고 있기 때문에 과학자들의 집중적인 연구대상이 된다. 과학자들은 신물질을 찾거나, 신약이나 신기술을 개발할 때 자연을 참조하고 흉내 내여 최대의 효과를 올리고자 노력하고 있다.

이외에 벌집 구조는 휴대폰의 전파를 중간에서 전달해주는 기지국의 배치에도 활용된다. 전파가 닿을 수 있는 거리는 사방으로 같은 거리이다. 즉, 원모양을 이루고 있다. 그런데 원은 단일한 도형에서 최대 면적을 활용할 수는 있지만 여러개를 빈틈없이 쌓을 수는 없다. 따라서 핸드폰 기지국들은 기지국 사이에 어쩔 수 없이 겹치는 공간을 허용하게 되는데 이때 정륙각형을 이루는 방식으로 기지국을 설치하면 가장 적은 수의 기지국으로 빈틈없고 가장 능률적인 전파망을 구축할 수 있다. 종합

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