우리 나라의 녀수학자가 풀기 까다로워 ‘악명’ 높은 수학난제 ‘카케야 추측’을 해결해 학계의 관심을 끌고 있다. 수학계는 이를 ‘필즈상 수상감’이라고 평가했다. ‘수학 노벨상’으로 불리는 필즈상은 40세 미만 수학자를 대상으로 4년마다 주어지는 상이다.

우리 나라 출신의 미국 뉴욕대학교 쿠란트 수학연구소 왕홍 교수와 카나다 브리티시꼴롬비아대학교 조슈아 잘 교수가 ‘카케야 추측’을 3차원에서 해결한 결과를 일전 ‘아카이브’에 공개했다. 아카이브는 론문 사전공개 사이트로 아직 정식 평가를 거친 론문은 아니다.

‘카케야 추측’은 일본 수학자  카케야 소이치가 1917년에 제기한 문제에서 비롯됐다. 카케야는 길이가 1인 무한히 가는 ‘바늘’을 모든 방향을 가리키게 돌린 후 원래 위치로 돌아오게 할 때 바늘이 지나는 최소 면적은 얼마인지 구하는 문제를 제기했다. 문제는 카케야가 일본 수학자인 점에 착안해 ‘좁은 공간에서 갑자기 공격을 받은 사무라이가 창을 한바퀴 돌려서 공격할 때 필요한 최소 넓이는 얼마인가’라는 문제로 바뀌여 소개되기도 한다.

례를 들어 2차원에서 바늘의 중심을 고정해놓고 한바퀴 빙그르 돌리면 바늘의 자취를 따라 원이 그려진다. 원의 넓이가 바늘이 지나는 면적이다. 카케야는 여기서 면적을 더 줄이는 방법을 제안했다. 주차장에서 차를 앞뒤로 이동시키면서 좁은 주차공간에 주차하는 것과 같은 원리이다.

카케야가 문제를 제기한 지 2년 뒤인 1919년 로씨야－영국 수학자 아브람 베지코비치가 바늘을 한바퀴 돌릴 때 바늘이 지나는 최소 면적값이 0이라는 것을 증명했다. 수학적으로 극한값을 증명한 것이다.

이후 수학자들은 바늘이 모든 방향을 가리키지만 바늘이 지나는 면적값이 0인 바늘의 집합을 ‘카케야 세트’라고 이름 붙이고 카케야 세트는 바늘이 움직이는 차원이 1차원, 2차원, 3차원처럼 정수로 딱 떨어지는 차원에서만 존재한다고 추측했다. 이것이 바로 ‘카케야 추측’이다.

이후 ‘카케야 추측’은 1차원과 2차원에서 차근차근 해결됐다. 문제는 3차원이였다. 문제는 간단하지만 해결은 쉽지 않았다. 현존 최고 수학자로 꼽히는 필즈상 수상자 미국 캘리포니아대학교 타오 교수는 2005년 ‘카케야 추측’의 반례가 모순됐다는 점을 증명하는 방식으로 문제에 도전했다. 모든 반례를 증명하지 못해 ‘카케야 추측’을 해결하지는 못했다.

왕홍 교수와 잘 교수는 타오 교수의 방법을 이어받아 모든 반례의 특성을 증명하고 다양한 범위의 함수 성질을 다루는 ‘다중 스케일 해석학’과 겹치는 도형의 성질을 연구하는 ‘접속 기하학’을 활용해 ‘카케야 추측’을 완전히 해결했다.

수학계는 왕홍 교수와  잘 교수의 결과를 높이 평가하고 있다. 이들의 결과는 3차원보다 높은 차원에서의 ‘카케야 추측’을 해결하는 데도 도움을 줄 전망이다. 미국 라이스대학교 카츠 교수는 “1세기에 한번 나올 만한 결과”라고 말했다.

현재 론문은 검증 과정을 거치고 있다. 결과가 확실해지면 이들이 필즈상을 수상할 수 있다는 이야기까지 수학계에서 나오고 있다. 특히 왕홍 교수는 녀성 수학자라 필즈상을 받으면 동아시아 최초로 필즈상 수상 녀성 수학자가 된다. 왕홍 교수는 2007년 16세의 나이로 북경대학교에 입학했다.　 

외신